【数学】自然数を理解しよう!

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【数学】自然数を理解しよう!

プログラムと数学は、密接な関係にあります。
今回は、数学の基礎の基礎とも言われる自然数について勉強していきましょう。

出典:http://www.photo-ac.com/

「何もない」はゼロではない

我々は、「何もない」ということを想像できない。
そこで 机を 何もないイメージの代わりとして考えてみよう。
ここで頭のいい方ならゼロって「何もない」んじゃないって思うかもしれない。
でも、それは間違っていて、ゼロがあると考えないといけない。
ゆえに、「何もない」ということを想像できない。

自然数は1番目から数えるの?0番目?

次に箱を考えてみる。ペアノ・システム(※1)も 自然数は1から始まるが、集合論を研究するものは、0から始めるのが好きなので、それに合わせることにする。
1から始まる自然数と、0から始まる自然数の2つがあると考えていただければよい。
自然数が、なぜ1から始まるかと言うと、無から数え始めないからです。箱の左隣の何もない空間を見て、0番目、とか数え始めないと思う。そんな感じで考えていただければよい。

ちなみに、集合論の学者は 最初の箱を 0番目として 数え始めるのかというと、そうではない。あくまで 集合論の学者は、箱を置く前から数え始めるだけだ。最初のバケツを 0 と言っているわけではない。
集合論の学者は、何かが置かれる前の机からスタートする。
そうでない学者は、机の上に何か置かれてからスタートする。
それだけの違いであり、それが大きなこだわりの違いであると考えてほしい。

自然数の話に戻して、箱の個数は、自然数の特徴ではない。箱の個数なんかは、変数a ぐらいで考えるといい。つまり、自然数の特徴は、1増えるということをイメージしてほしい。

※1. ペアノの公理 1

変数ってなんだ?それは数え上げ方に秘密がある

前述で変数aと例に出したが、探求心旺盛な諸君は、こう思うかもしれない。変数aとはいくつなんだろう。その発想は、素晴らしいと思う。至極当然な疑問だと思う。

それは、0 かもしれないし、永遠に大きい数かもしれない。ただし、0 か 1 から数え始めることは決まっているので、数え始める数字より 小さな数字が出てくることは無い。つまり、変数aは 0 とか 1 とか 2 とか 3 とか、そんな数を表す。
そんなことを言ってると 10000 とか 10001 とか挙げだすとキリがない。
この自然数aを全部言うことはできない。なぜなら無限にあるのだから。
それでは、自然数の特徴をどう言い表すのだろうか?

箱の数ではなく、増え方の方に目を付けるとよい。
増え方の方にこそ自然数らしさがある。
自然数は、前の数より1だけ大きくなるの繰り返しと理解したらよい。
それがくっついてできた数aは、自然数と呼ばれるのです。
具体例を出すと、1+1+1+1+……が繰り返された数と想像してほしい。

ルールを決めることの重要性

まだ自然数の特徴を追加する。
1足した後の数字が、すでに数え終わった数に戻ることはない。当たり前だと思うかもしれないが、このルールがすごく大事。

なんで そんなルールをわざわざ付け足すのか?
1を足すと、必ず増える、ということはご存知だと思う。
どこかでなんらかの初期状態に戻って、くるくる循環する、という装置は、自然数にはない。

もう1個、自然数の特徴を追加する。
ダイソーで買ってきた箱があるとしよう。荷札でも付けておこう。
すると、箱は全部ダイソー製となる。
ダイソー製の箱の後ろに キャンドゥの箱が追加されることはないでしょ?
でも、あなたは、なんで そんなルールを わざわざ付け足すの?と思うだろう。

具体例を挙げると、
りんご、りんご、梨、りんご、りんご、りんご……

と違うのが混ざるのをOKにしてたら、2+3 は 5 です、と言いたいのに、3番目は、梨 だから 4 かも知れなくなる。
ややこしいことは、禁止にしようということなのである。
すべて同じもので、できていることをルールとして決めておくということなのだ。

今回は以上になります。